python으로 편미분하기
지난번 포스팅 (python으로 하는 수치미분 (Numerical Differentiation)에서 어떻게 파이썬으로 수치미분을 하는지 알아보았다.
이번엔 다변수로 넘어가서 어떻게 편미분을 하여 미분 계수를 구하는지 한번 알아보자.
다변수이기 때문에 코드가 비교적 더 복잡해진다.
다음과 같은 식을 편미분해본다고 생각해보자.
\[f(x, y) = 2x + 3xy + y^3\]음.. 코드 어제 배운거 있고, 수치미분 함수 하나 정의하고, 저 식에 대한 함수 하나 정의해서 “땋!” 적용하면 바로 결괏값 나오는거 아님????
정답이다. 하지만 이상적인 정답이라고 할 순 없다!
왜냐고?? 만약에 변수가 $ f(x, y, z) $ 라면? 또는 $ f(a, b, c, d, …,y, z) $ 라면? 식에 대핸 새로운 함수를 정의하고 그 함수에 대응하는 수치미분 함수를 또 다시 정의하고 코드를 뜯어 고쳐야하기 때문이다.
파이썬이 흥행한 이유가 무엇인가?? 유지 보수성이 탁월하기때문 아니던가!
이번 포스팅은 이런 점을 고려하여 어떤 식이든, 또 어떤 차원의 행렬을 인수로 받던간에 바로 수치미분 함수에 적용할 수 있는 일반화된 수치미분 함수를 만들어 볼 것이다.
그럼 바로 코드로 고고 🚀
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import numpy as np # numpy 패키지를 이용하여 차원에 대응할것임.
# 수치미분을 수행할 함수를 만들어보자
def numerical_derivative(f, x):
"""
편미분을 여러번 돌려야함 (vector of partial derivatives)
f: 우리가 돌리려고 하는 식을 함수로 적어놓은것. e.g. f(x, y)
x: 함수에 쓰일 독립변수. 행렬이 될 수도, 1차원 변수가 들어올 수도 있음.
"""
delta_x = 1e-4 # x 변화량의 크기 (극한 대신 아주 작은 수로 대체)
derivative_x = np.zeros_like(x) # x와 똑같은 shape을 가진 배열(혹은 행렬) 생성 (요소값은 0임)
it = np.nditer(x, flags=['multi_index']) # iterator 하나 생성. 플래그는 멀티 인덱스 설정
while not it.finished:
idx = it.multi_index
tmp = x[idx] # 임시 변수로 x[idx] 의 원값을 저장
x[idx] = tmp + delta_x # 전향 차분
fx_plus_delta_x = f(x) # 첫번째 인자로 들어온 함수를 대입
x[idx] = tmp - delta_x # 후향 차분
fx_minus_delta_x = f(x) # 첫번째 인자로 들어온 함수를 다시 대입
# 중앙 차분
derivative_x[idx] = (fx_plus_delta_x - fx_minus_delta_x) / (2 * delta_x)
x[idx] = tmp # x값 원상태로 복구
it.iternext() # 다음 인덱스로 넘어가자
return derivative_x
자 이렇게 수치미분을 계산해주는 함수를 하나 정의해보았다. ☝️
이제 첫번째 인자로 들어갈 수학적 식을 하나 만들어보자.
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def f(input_values):
"""
이 함수는 f(x, y) = 2x + 3xy + y^3 의 수식을 가진 함수이다.
이 함수는 numerical derivatives 와 같은 수학적 계산 목적을 가진 함수에서만
사용될 수학적 식을 담은 함수이다.
input_values를 사용한 까닭은 독립변수 개수와 상관없이
어떤 경우에도 일반화할 수 있는 함수를 만들기 위함이다.
"""
x = input_values[0]
y = input_values[1]
return 2*x + 3*x*y + np.power(y, 3)
오케이 👌
잘 작동하는지 한번 살펴보자.
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result = numerical_derivative(f, np.array([1.0, 2.0])) # x = 1.0, y= 2.0 의 값을 갖고 있음
print(result)
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결과값은:
[ 8. 15.00000001]
저 결과값이 극한을 이용한 해석미분으로도 값이 비슷할까? 한번 살펴보자!
\[f(x, y) = 2x + 3xy + y^3\] \[\frac{\partial f}{\partial x} = 2 + 3y\]x = 1.0 y=2.0의 값을 대입해보면…
마찬가지로 y에 대한 편미분을 해보면
수치미분으로 얻은 결괏값이 위 극한에 의해 얻어진 결괏값과 매우 근접한 것을 알 수 있다! 💃
마지막으로 조금 더 복잡한 2x2 행렬을 대입해보자!
우선 f 함수는 다시 재정의를 해줘야한다. 왜냐고? 수식이 변했기때문
변하기 전 수식: $ f(x, y) = 2x + 3xy + y^3 $
새로운 수식: $ f(a, b, c, d) = 2ab + 6a^2bc + 5cd + 2bd^2 $
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def g(input_values):
a = input_values[0, 0]
b = input_values[0, 1]
c = input_values[1, 0]
d = input_values[1, 1]
equation = (2 * a * b) + (6 * np.power(a, 2) * b * c) + (5 * c * d) + (2 * b * np.power(d, 2))
return equation
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result = numerical_derivative(g, np.array([[1.0, 2.0],
[3.0, 4.0]]))
print(result)
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결과값:
[[76. 52.]
[32. 47.]]
이렇게 구할 수 있다.
오늘의 기록 끄읏. 👋